Comment Calculer l’ intégrale de volume d’une hypersphère

Juste un cercle est l’ensemble de tous les points dans un plan équidistant à deux dimensions à partir d’un point central et une sphère est l’ensemble de tous les points en trois dimensions équidistants d’un point central , en mathématiques il existe des structures analogues , appelés hypersphères , dans des espaces de dimensions supérieures à trois qui sont l’ensemble des points équidistants d’un point central . Par conséquent , tout comme le volume d’une sphère intégrante en trois dimensions peut être dérivé avec le calcul , ne peut donc les volumes intégrante de ces chiffres de dimensions supérieures . Instructions
Le 1

Définir le système de coordonnées qui sera utilisé dans le problème . Bien que tout système de coordonnées peut être fait pour travailler , une variation sur les coordonnées sphériques polaires qui fonctionne le mieux . A titre d’exemple , dans un espace à n dimensions , de définir r comme la distance jusqu’au point central, thêta comme l’angle azimutal et phi1 , phi2 , … phi ( n-2) en tant que coordonnées angulaires allant de 0 à pi radians .
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Écrivez le volume de base intégrale sur l’ensemble hypersphère . Ce sera l’intégrale de 0 à une certaine rayon R de r , et sur ​​la totalité des angles possibles pour chaque coordonnée angulaire , de 0 à 2 pi de thêta et de 0 à pi pour les variables restantes . Les intégrales multiples sont pris de 1 à travers l’élément de volume.
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Remplacer l’élément de volume avec les termes appropriés à compter de la déterminant jacobien . Par exemple , pour une hypersphère en quatre dimensions , il sera : .

R ^ 3 ^ 2 sin ( phi1 ) sin ( phi2 ) dr dphi1 dphi2 dtheta

Pour plus d’aide du calcul du jacobien , voir le lien de ressource appropriée .
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Notez la réponse finale après chaque prise intégrante de succession . Dans notre exemple de l’hypersphère à quatre dimensions de la réponse finale est : .

( Pi ^ 2/2 ) * rayon ^ 4